Etiket arşivi: Cemal Yıldırım

Matematikte Bunalımlar

paradox

 

Tarih boyunca matematik 4 temel bunalım geçirmiştir ve bunlar;

1- √2 gibi rasyonel olmayan sayıların yol açtığı ,başlangıçta olanaksız ya da saçma sayılan negatif (-1) ve sanal √-1 sayıların ortaya çıkmasıyla süren bunalım

2-Başlangıçta sağlam bir temele oturtulamayan ve kavramsal belirsizlik içinde kalan diferansiyel ve integral hesaplarının yol açtığı bunalım

3-Euclides’in 5.postulatına ilişkin kuşku ve ve doyumsuzluktan kaynaklanan ,Euclides-dışı geometrilerin ortaya çıkmasıyla büyüyen bunalım

4-Kümeler teorisinde başgösteren paradoksların yarattığı,daha sonra Gödel teoremleriyle yeni bir boyut kazanan bunalım.

Tanımlar

Genelleme:

İnceleme konusu bir ya da daha fazla nesne veya ilişkinin gözlemine dayanarak o nesne veya ilişkinin dahil olduğu tüm sınıf hakkında doğruluk savı taşıyan yargıdır. İndüktif düşünmenin başlıca özelliğini temsil eden genelleme,bilimde empirik yasaların,matematikte olası teoremlerin kaynağıdır. Genelleme için elimizde ki kanıtlar ne derece doyurucu görünürse görünsün ,genellemelerin doğruluğu daima bir olasılık olarak kalır. Bilimsel genellemeler hiç bir zaman kesinlik kazanmaz.

Olayana Ergi (latince:reductio ad absurdum RAA):

Yadsınması varsayımımızla açık bir çelişki oluşturan bir yargının,yadsınarak doğruluğunu kanıtlamak. Böyle bir kanıtlama doğrudan değil dolaylı bir kanıtlamadır.

Doğruluk:

Günlük ve bilimsel düşünmede gözlem ya da deney verilerine ,matematik ile mantıkta ise ispata bağımlıdır.

Euclides ve 5.Postulat

Euclides’in 5.postulatı “bir doğruya dışında ki bir noktadan yalnız bir parelel doğru çizilebir” şeklindedir. Diğer postulatları tarih boyunca sorunsuz kabul edilmiş olsa da bu postülat ispata hep ihtiyaç duymuştur ve ispat çalışmaları olmuştur. Ama bu ispatlar bir şekilde hep postülatın kendini içerdiğinden kadük kalmıştır. Taki 17. yy’da olmayana ergi yöntemi ispat olarak kullanılana kadar. Bu postülat birbirinden bağımsız olarak Gauss,Bolyai ve Lobachevsky tarafından yanlışlanmıştır.Bu postülat Euclides’in diğer postülatlarından yola çıkılarak  ispatlanamaz olduğu ortaya konulmuştur. Bu ise artık düzlem geometrisinin tek geometri olmadığını ,olamayacağını serimlemiştir. 

Gauss ve Bolyai Euclides-dışı geometri düşüncesine ulaşmışlar, Lobachevsky ise bu tür bir geometriyi gerçekleştiren ilk kişidir. Günümüzde bu geometriye  “hiperbolik geometri” denilmektedir.

Lobachevsky Euclides’in 5.postülatını “Bir düzlem üzerinde bulunan m doğru dışında ki P gibi bir noktadan m doğrusuyla kesişmeyen birden fazla doğru geçer” postülatına bırakmıştır. Bu ise kendi içerisinde tutarlı ve doğru Euclides-dışı geometrilerin olabileceğini gösterir. Böyle bir gelişim yerleşmiş kalıpların yıkılması ve yeni düşüncelerin kapılarını açmıştır.

Paralel postülat yerine ona ters düşen değişik postülatların konabileceği olgusu “postülat” denilen önermenin bir varsayımdan başka bir şey olmadığını ortaya koymuştur. Euclides postülatları “Kant’ın iddia ettiği gibi” ne aklın değişmez ,zorunlu yasaları ,ne de uzaysal ilişkileri saptayan biricik doğrulardır. Bilimde ki gelişmeler ,uzaysal ilişkilerin değişik boyutlarda farklı özellikler taşıyabileceğini,tek bir geometriyle temsil edilebilecek tek bir uzaydan söz edilemeyeceğini ortaya koymuştur.

Euclides dışı geometrilerin varlığı ve bunların tutarlı olduğunun ispatı sadece Euclides geometrisinin tekelini değil matematiğin “mutlak doğruluk” iddiasını da yıkmıştır. Matematiksel doğruluk görecelidir.bir teoremin doğruluğu dayandığı aksiyom ya da postülatların doğruluğuna bağlıdır.

Cemal Yıldırım

Bilim Felsefe’si dersinde sık sık Cemal Yıldırım’ın Remzi Kitabevinden çıkan “Bilim Felsefesi” adlı eserine atıf yapmasından dolayı kitabı aldım ve okudum. Bilim Felsefesi dersi esnasında takip edilen ders kitabının dilinin çok garip olması dolayısıyla çok bir şey elde etmemiş olmamın da verdiği üzüntüyle Cemal Yıldırım’ın kitabı bana kurtarıcı gibi geldi. Hem dil olarak hemde konuları sunuş açısından oldukça verimli bir okuma oldu benim için.  Buradan yola çıkarak müellifin başka eserleri varmı diye baktığımda “Matematiksel Düşünme” adlı telifini gördüm. kitabı temin edip okumaya başladığımda matematik tarihiyle ilgili kafamda oturtamadığım bir çok hususla ilgili bilgilerin yer aldığını gördüm.

Bu bilgilerin bende daha sonra da işe yaramaları ve hafızamın derinliklerinde kaybolmasına izin vermemek için önemli olduğuna karar verdiğim noktaların notlarını paylaşacağım.

Euclides ve Elementler

Eski Yunanlılar için matematik öncelikle geometri demekti. Yunanlıların matematiğe ilgileri gündelik sorun ve ihtiyaçlarının çözümü için değil, felsefe de olduğu gibi, pratik olmaktan çok teorik nitelikte idei:Bilgide kesinlik arıyorlardı;açıklamak ve anlamak başlıca kaygılarıydı. Geometriye işe yaradığı için değil ,bilme,öğrenme ve anlama tutkularını doyurmak için uğraşıyorlardı.

Pythagoras ve ondan esinlenen Platon’un gözünde geometrinin önemi entellektüel bir disiplin olmasındandı. Soyut ve katıksız niteliğiyle matematik,özellikle ispata dayanan geometri ,metafizik düşünce gibi insan kafasının ,değeri kendi içinde olan ürünüydü.

Euclides “Elementler” adlı yapıtını ,Eudoxus’un ispatladığı teoremleri bir araya getirerek oluşturmuştur. Onun başarısı yeni teoremler bulmasında değil,kendinden önce ortaya konulmuş teoremleri mantıksal ilişkiler içinde özgün bir biçimde sunmasındadır;Öncül diye seçtiği az sayıda ki aksiyom ,postulat ve tanımlardan ,dedüktif çıkarımla ,geriye kalan tüm önermelerin ispatını vermektedir. Aksiyomatik sistemde ispatlanan önermeler sistemin teoremlerini oluşturur. “Elementler” in olağanüstü etkisi geometriyi bu biçimde sunma başarısıdır.

Euclides’in aksiyon ve postülat tanımları;

Aksiyom: Tüm alanlar için geçerli ,doğruluğu apaçık bir önermedir. “Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine eşittir.”

Postülat:Belli bir konu ya da inceleme alanına özgü,doğruluğu apaçık bir önermedir. “Bir çizgi dışında ki herhangi bir noktadan o çizgiye bir ve yalnız bir paralel çizgi vardır. ”

Euclides-dışı geometrilerin varlığının ortaya çıkmasıyla birlikte aksiyom ve postülat arasında ki ayrım ortadan kalkmıştır ve aksiyom-postülat anlamsal özdeş kabul edilmiştir. Artık doğruluğu bilinen veya apaçık olan değil,doğruluğu varsayılan önerme veya formüller olarak kabul edilir.

 

Tanımlar

Nokta:Büyüklüğü (ya da parçası) olmayan bir nesne

Doğru:Genişliği olmayan uzunluk

Yüzey:Yalnızca eni ve boyu olan nesne

Düzlem:Üzerinde ki doğrularla koşut giden yüzey.

Postulatlar

1.Bir doğru herhangi bir noktadan başka bir noktaya çizilebilir.

2.Bir doğru parçası doğrusal bir çizgi üzerinde sürekli uzatılabilir.

3.Bir daireyi herhangi bir merkez ve uzaklıkla belirleyebiliriz.

4.Tüm dik açılar birbirine eşittir.

5.İki doğru üzerine düşen bir doğru çizgi ,aynı yandaki iç açıları birlikte iki dik açıdan az yapıyorsa,iki doğru çizgi,iç açıların bulunduğu yanda yeterince uzatıldığında birleşir.

Aksiyomlar (Genel Doğrular)

1.Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine eşittir.

2.Eşit olan şeylere eşit şeyler eklendiğinde sonuçlar eşit olur.

3.Eşit olan şeylerden eşit şeyler çıkarıldığında kalanlar eşittir.

4.Birbiriyle çakışan şeyler birbirine eşittir.

5.Bütün parçasından büyüktür.

Dedüktif bir sistemde bir takım varsayımların konması gerekmektedir ve “Elementler”de bu koşul 5 postulat ve 5 aksiyom konarak yerine getirilmiştir. Postulatlar geometriye ilişkin olması nokta,doğru,üçgen,dik açı,daire gibi terimlerden ileri gelmektedir.

Dil ve Kavram

Kavram ve yeniden kavram. Dönüp dolaşıp yine aynı kapıya kavram,sözcük,nesne ilişkisine gelmekteyim. bunların birbiriyle ilişkisi nedir ve nasıldır? Düşünce kavramlarla olur ve sözcüklerle dillendirilir ama kavram nedir ,nedeğildir ? gibi pek çok soru ve sorunlar. Zihnim tam bunlarla meşgulken Cemal Yıldırım’ın Bilim Felsefesi adlı kitabını okuma listeme aldım ve okumalarım esnasında Bilim ve Dil ilişkisi bölümünde kavram,nesne,sözcüklerin ilişkisi nedir,kavram nedir gibi bir çok sorunu anlayacağım şekilde cevaplamış. Zatı alilerinin kitabı bir çok yazıda referans metni olarak geçtiği için almıştım ve sanırım verdiğim paraya yazık diyebileceğim bir metin değil. Epeyce de kitap telif etmiş ve çoğu benim ilgi sahama giren metinlere benziyor. Sanırım ilk hedefim akdeniz ardından Yıldırımın kitaplarını kitaplığıma katmak olacak. Tabi dimağımın kitaplığında yer almasını sağlayarak.

bilimsel bilgilerimizin temel özelliklerinden biri,bir ya da daha fazla dilde anlatılabilir olmasıdır.
Diller doğal olabileceği gibi yapay da (matematik,mantık) olabilir. Ama tüm dillerin ortak özelliği “sözcük” denilen simgelerden oluşmalarıdır.

Her dilin kullanılış amacına göre çeşitli işlevleri vardır.Ancak hepsinin başında dilin belirtme,bildirme ya da anlatım denen bildirişim işlevi gelmektedir.

Doğal ya da yapma dilleri meydana getiren ögeler iki grupta toplanabilir.
1-Dilin Vokabüleri: Dilin temel yapı taşları olan sözcükleri ya da simgeleri kapsar.
2-Dilin Kuralları: Dilin sentaksını oluşturan kurallar.

Dilin temel yapı taşları dediğimiz sözcükler aslında birer simgedir. Tüm simgeler gibi sözcüklerin kullanılışına da ortak anlaşma veya uzlaşmaya dayalı bir olgu sayabiliriz.Sözcükler işaret ettikleri “şeyler”le herhangi doğal veya zorunlu bir ilişki içinde değillerdir. Bunun bazı istisnaları “meleme,miyavlama,zırlama” gibi doğal seslerin taklididir.

Gramerde nesneleri adalndıran sözcüklere isim,özellikleri belirtenlere sıfat,eylemleri belirtenlere fiil;tarz,yer ve zaman belirtenlere zarf gibi adlar verilmiştir. Bu gibi sözcüklere kendileri dışında bir takım şeyleri temsil ettiklerinden dolayı betimleyici sözcükler denir. Ancak her dilde herhangi bir şeyi adlandırma veya betimleme görevi olmayan sözcüklerde vardır ve bunlara “mantıksal sözcükler”,”mantıksal değişkenler” de denilmektedir ki ,”tüm,bazı,değil,ve,veya,ise ,ancak ve ancak” kelimerini örnek gösterebiliriz.

bütün isimler tek tek “şeyleri” değil ,küme veya sınıf oluşturan “şeyleri” adlandırmaktadır.Örneğin “ağaç,kalem” gibi kelimeler birer küme adıdır. Bu şekilde farklı “şeyler”in aynı ad altında toplanması ,kullandığımız sözcüklerin sayı ve türünde ekonomi yapmamıza ,dilin kullanışlılığını korumamıza yardım ettiği için kaçınılmazdır.

KAVRAM

Betimleyici sözcükler için dilin anlam birimleri diyebiliriz.Sözcüklerin anlamlarını simgeledikleri “şeyler” veya o “şeylere” ilişkin özellikler oluşturur.Sözcüğün adlandırdığı nesnelerin tümü,sözcüğün kaplamını oluşturur. Sözcüğün kaplamına giren nesneleri ayırt etmemize yarayan ve o nesnelerin ortak özelliklerini oluşturan özellikler de sözcüğün içlemsel anlamını vermektedir. “Kavram” denilen şey de içlemsel anlamdan başka başka bir şey değildir. Bir tür nesnenin ortak adı olan her sözcük aynı zamanda bir kavram adıdır.

kavram

Üçgenin tabanında kesik çizgilerle işaret edilen ilişki,sözcükle temsil ettiği nesne türü arasında olup,bir bakıma kullanış alışkanlığımıza ,bir bakıma da ortak kabulümüze bağlı,fakat “uzlaşımsal” diyebileceğimiz bir ilişkidir. Kavram ve Nesne arasında ki ilişki nedensel olup gözlem verilerine bağlıdır. Kavram ve sözcük arasında ki ilişki tanımsaldır çünkü kavramı oluşturan özellikler sözcüğün tanımlayıcı ögeleridir.

Dilin yapı taşlarını oluşturan sözcük,terim veya benzer işi gören simgelerle,bunların temsil ettiği kavramlar değişik şeylerdir. Sözcük kavramın adı,kavram da sözcüğe verilen annlamdır. Kavram ilişkin olduğu sözcüğün adlandırdığı nesne türünde belirlediğimiz özelliklerin değişikliğe uğramasına ,ya da bazı yeni özelliklerin bulunmasına koşut olarak az veya çok değişebileceği gibi,zamanla açık seçikliğini de kaybedebilir,belirsiz hale gelebilir.