Matematikte daha fazla kesinlik için atılan adımlarda şu iki kavram pek çok kavrama
göre öne çıkmıştır: Eksiksizlik ve tutarlılık. Eksiksizlik (tamlık) sözcüğü matematikçinin
matematiksel nesneler dünyasının resmini tam olarak çizmesini ifade eder. Daha özelde
çözülmemiş matematiksel sorunun kalmaması anlamına gelir. Tutarlılık sorunu ise
matematiksel soruların çözümünü sağlayan ve matematiğin ilkelerini oluşturan aksiyom
ve kanıtlama yöntemlerinin çelişkili matematiksel hipotezleri aynı anda teorem yapıp
yapmadığı hakkındadır.
- Bütün aritmetiksel doğruları ele geçirmek amacıyla ortaya konulmuş mevcut en
geniş iki biçimsel sistemde (Principia Mathematica ve ZFC sistemleri) eğer bu
sistemler iç tutarlılığa sahipse, bu sistemlerin aksiyomları ve çıkarım kuralları
yardımıyla doğruluğuna veya yanlışlığına karar verilemeyen aritmetiksel
önermeler vardır. - Bu sistemler kendi tutarlılıklarını kanıtlayamaz.
Fakat Gödel’in eksiklik teoremlerinden bahsedildiğinde akla gelen önermeler
bunlar değildir. Bugün eksiklik teoremlerinden bahsedildiğinde yukarıdaki iki
önermenin genişletilmiş hali olan şu iki önerme akla gelmektedir: - Doğal sayıların yapısını ve bu sayılar arasında toplama ve çarpma işlemiyle
gösterilebilecek bütün bağıntıları karakterize edebilecek kadar güçlü her
biçimsel sistemde kararlaştırılamayan önermeler vardır. - Bu özellikleri gösteren hiçbir biçimsel sistem kendi tutarlılığını kanıtlayamaz.
Biçimselleştirme: matematiksel sorulara aksiyomatik biçimsel sistemler üzerinden yaklaşmak ve matematiksel hipotezlerin doğruluk değerine bu türden sistemler üzerinden karar vermeye çalışmak demektir.
Öklid Geometrisi fiziksel evrende bulunan nesneler üzerine söz
söylüyordu. Bu yüzden Öklid geometrisinde doğru olan şeyin evrende de doğru olduğu
düşünülüyordu.
Doğal sayılarla ilgili ardışıklık ve süreklilik anlayışımız var. yani sayıları tek sıra halinde dizilmiş ögeler olarak anlarız. Bu anlayış doğal sayılarda işe yarıyorken 19.yy da yeni sayı türlerinin bulunmasıyla yıkıldı. Çünkü yeni sayı türleri ne zamanın sezgisiyle ne de dünyadaki nesnelerin soyutlamasıyla ortaya çıkabiliyordu. Bu sayılar alef1,alef2 türündendi ve büyüklükleri doğal sayıların büyüklüğünden büyüktü.
Aritmetik:
Aritmetik (sayılar teorisi) sayıların, daha özelde tam sayıların bilimidir. Tam
sayılar ve bu sayıların birbirleri ile olan ilişkilerini anlamaya çalışmak ve onların
üzerine söz söylemek, aritmetik yapmaktır.
Toplama:Bir S1 sayısını S2 sayısı ile toplamak demek, bu dizide S2 sayısından başlayarak S1 kadar ilerlemek demektir.
Çapma: Bir S1 sayısını S2 sayısı ile çarpmak ise, sıfır sayısından başlayarak
S1 sayısını tekrar tekrar S2 sayısı kadar toplamak demektir.
Hipotez: Henüz bir kanıt getirilememiş bilimsel yargılara hipotez adı verilir.
Teorem:Hipotez kanıtlandığında teorem olur.Teoremler kanıtlanmış doğrulardır.
Kesinlik kavramı bilginin sağlamlığına işaret eder. Matematiksel bir bilginin
kesinliğinden bahsedildiğinde ise bu sağlamlığın ölçütünün olması gerekir. Bu ölçüt ise
geleneksel olarak reddedilemezlik olarak anlaşılmıştır. Matematiksel bilgi, bu bilginin
reddedilememesini sağlayacak bir dayanağa sahip olan bilgidir. Öyle ki, bilgiye
dayanak sağlayan şey ortadan kalkmadıkça, bu bilginin yanlış olmasının olasılığından
söz edilemez.
Matematiksel tümevarım ilkesi önsel doğrudur ve hipotezin kanıtlanarak teorem haline gelmesini sağlamıştır. İşte bu tür ön kabullere aksiyom adı verilir. Bunlar matematiğin temellerini, ilk ilkelerini oluşturur. Bütün matematiksel hipotezler, aksiyomlar yardımıyla kanıtlanır.
Aksiyomlar tek başlarına bulunmazlar. Genellikle belirli bir matematiksel alan üzerine söz söyleyen başka aksiyomlarla ve ayrıca kanıtlama ilkeleriyle birlikte bulunurlar. Bunlar bir arada aksiyomatik sistemleri oluşturur.
Gödel’in eksiklik teoremlerinin ilişkili olduğu konu ise aksiyomatik sistemlerdir.
Temel sorun, bu sistemler yardımıyla ne kadar matematiksel hipotezin kanıtlanabileceği
ve bu sistemlerin güvenilirliğidir.
Eğer nesnenin karakterini ortaya koyan yargılar iyi seçilirse, bu nesne ilgili doğruları bu yargılardan çıkarabiliriz. İşte aksiyomatik yöntem budur. Bir teori olarak aksiyomatik sistem, tutarlılık ve eksiksizlik özelliğine sahip olursa, açıklamak istediği nesneler kümesini iyi karakterize eder.
Eksiksizlik:
Eğer bir aksiyomatik sistemin aksiyomları, üzerine söz söylediği şey hakkında
ileri sürülebilecek bütün hipotezlerin doğruluk değerine karar verebilmemize olanak
sağlarsa, sistem eksiksizlik özelliğine sahiptir. Eğer sistemin aksiyomlarından bir hipotezin ne kendisi ne de olumsuzu türetilebiliyorsa, sistem eksiktir.
Tutarlılık:
Bir aksiyomatik sistem için tutarlılık, sistemin çelişkili aksiyomlara sahip
olmamasıdır. Sadece tutarlı bir aksiyomatik sistem doğruları ancak ve ancak doğruları
türetebilir. Eğer sistemin aksiyomları çelişkili ise, sistem birbiriyle çelişen hipotezleri
teorem yapar. Yani üzerine söz söylenen alanla ilgili hem doğru hem de yanlış
hipotezler teoreme dönüşür.
Öklid dışı geometrilerin tutarlılığı öklid geometrisinin tutarlılığına bağlıdır.
Rüştü ATMACA 